微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH2410 Periodic Solutions

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简单的说,学好微积分(数学分析)是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。

转变思维永远不是简单,但是不转变,贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候,我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音,还喜欢学各种解题技巧,这个时候我和他的成绩是一样的。

国外的老师较为看重学生homework的完成情况,对于同学们来说,完成一门科目作业并获得不错的成绩是尤为重要的事情。但对于不少同学来说,在自身英语说存在局限的情况下,当数学基础较为薄弱时,微积分作业的难度一下子就提升了,很难独立完成微积分作业。Calculus-do™提供的专业微积分代写能为大家解决所有的学术困扰,我们不仅会帮大家完成作业,还提供相应的数学知识辅导课程,以此来提高同学们学习能力。

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  • 多变量微积分
  • 傅里叶级数
  • 黎曼积分
  • ODE
  • 微分学
微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH2410 Periodic Solutions

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|Periodic Solutions

We have seen that the stability of a rest point can often be determined by linearization or by an application of Lyapunov’s direct method. In both cases, the stability can be determined by analysis in an arbitrary open set (no matter how “small”) containing the rest point. For this reason, we say that the stability of a rest point is a local problem. However, it is not possible to determine the stability of a periodic solution without considering the ordinary differential equation in a neighborhood of the entire periodic orbit. In other words, global methods must be employed. This fact makes the analysis of periodic solutions much more difficult (and more interesting) than the analysis of rest points. In this section we will introduce some of the basic ideas that are used to study the existence and stability of periodic solutions.

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|The Poincar´e Map

A very powerful concept in the study of periodic orbits is the Poincaré map. It is a corner stone of the “geometric theory” of Henri Poincaré [143], the father of our subject. To define the Poincaré map, also called the return map, let $\phi_{t}$ denote the flow of the differential equation $\dot{x}=f(x)$, and suppose that $S \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is an $(n-1)$-dimensional submanifold. If $p \in S$ and $(p, f(p)) \notin T_{p} S$, then we say that the vector $(p, f(p))$ is transverse to $S$ at $p$. If $(p, f(p))$ is transverse to $S$ at each $p \in S$, we say that $S$ is a section for $\phi_{t}$. If $p$ is in $S$, then the curve $t \mapsto \phi_{t}(p)$ “passes through” $S$ as $t$ passes through $t=0$. Perhaps there is some $T=T(p)>0$ such that $\phi_{T}(p) \in S$. In this case, we say that the point p returns to $S$ at time $T$. If there is an open subset $\Sigma \subseteq S$ such that each point of $\Sigma$ returns to $S$, then $\Sigma$ is called a Poincaré section. In this case, let us define $P: \Sigma \rightarrow S$ as follows: $P(p):=\phi_{T(p)}(p)$ where $T(p)>0$ is the time of the first return to $S$. The map $P$ is called the Poincaré map, or the return map on $\Sigma$ and $T: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$ is called the return time map (see Figure 1.22). Using the fact that the solution of a differential equation is smoothly dependent on its initial value and the implicit function theorem, it can be proved that both $P$ and $T$ are smooth functions on $\Sigma$ (see Exercise 1.96).

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代考|MATH2410 Periodic Solutions

微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|Periodic Solutions


我们已经看到,静止点的稳定性通常可以通过线性化或李雅普诺夫直接法的应用来确
定。在这两种情况下,稳定性都可以通过在包含静止点的任意开集(无论多么”小”) 中 进行分析来确定。因此,我们说休息点的稳定性是一个同部问题。但是,如果不考虑整 个周期轨道附近的常微分方程,就不可能确定周期解的稳定性。换句话说,必须采用全 局方法。这一事实使得周期性解的分析比静止点的分析更困难(也更有趣)。在本节 中,我们将介绍一些用于研究周期解的存在性和稳定性的基本思想。


微积分网课代修|常微分方程代写Ordinary Differential Equation代 考|The Poincar’ e Map


研究周期轨道的一个非常强大的概念是庞加莱图。它是我们主题之父亨利·庞加莱 [143] 的“几何理论”的基石。为了定义庞加莱图,也称为返回图,让 $\phi_{t}$ 表示微分方程的流动 $\dot{x}=f(x)$ ,并假设 $S \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 是一个 $(n-1)$ 维子流形。如果 $p \in S$ 和
$(p, f(p)) \notin T_{p} S$ ,那么我们说向量 $(p, f(p))$ 是横向的 $S$ 在 $p$. 如果 $(p, f(p))$ 是横向的
$S$ 在每一个 $p \in S$ ,我们说 $S$ 是一个部分 $\phi_{t}$. 如果 $p$ 在 $S$ ,那么曲线 $t \mapsto \phi_{t}(p)$ “经过” $S$
作为 $t$ 经过 $t=0$. 也许有一些 $T=T(p)>0$ 这样 $\phi_{T}(p) \in S$. 在这种情况下,我们说 点 $\mathrm{p}$ 返回到 $S$ 有时 $T$. 如果有一个开放的子集 $\Sigma \subseteq S$ 使得每个点 $\Sigma$ 返回 $S$ ,然后 $\Sigma$ 称为 庞加莱截面。在这种情况下,让我们定义 $P: \Sigma \rightarrow S$ 如下: $P(p):=\phi_{T(p)}(p)$ 在哪 里 $T(p)>0$ 是第一次返回的时间 $S$. 地图 $P$ 被称为庞加莱图,或返回图 $\Sigma$ 和
$T: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$ 称为返回时间图 (见图 1.22) 。利用微分方程的解平滑依赖于其初值和隐 函数定理这一事实,可以证明 $P$ 和 $T$ 是光滑的函数 $\Sigma$ (见刃题 1.96) 。

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